Calcular un determinante grande desarrollando siempre por la primera fila es como abrir
una nuez con una excavadora: puede funcionar, pero elegiste la herramienta sin mirar el
problema. Antes de hacer cuentas hay que decidir entre dos caminos: cofactores cuando
hay ceros, triangulación cuando no los hay.
El caso 2x2, donde no hay nada que decidir
En una matriz 2×2 no hay decisión que tomar:
det[acbd]=ad−bc.
Conviene fijar el orden como “diagonal principal menos diagonal secundaria”. Un error de
signo acá contamina inversas, autovalores y sistemas enteros, así que la mejor verificación
es geométrica: columnas casi paralelas deberían dar un valor cercano a cero.
La matriz. Hay un cero en la primera fila, y eso va a ahorrar trabajo.
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Fijate por qué conviene desarrollar por la primera fila y no por otra: el cero de la tercera posición se lleva puesto un término entero. Elegir la fila o columna con más ceros es la única decisión del método, y es la que decide si son dos cuentas o tres.
Antes de seguir, predecí
Cofactores: reducir a determinantes más chicos
Para una matriz mayor, el desarrollo por cofactores reduce el problema a determinantes
más chicos. Si se desarrolla por la fila i,
detA=j∑aijCij,Cij=(−1)i+jdet(Mij),
donde Mij se obtiene tachando la fila i y la columna j. Los signos forman un
tablero alternado que empieza positivo:
+−+−+−+−+.
La clave no es desarrollar por la primera fila: es elegir la fila o columna con más
ceros, porque cada cero elimina un determinante menor completo.
Un ejemplo donde los ceros hacen el trabajo
Considerá
A=23−1012045.
La primera fila tiene dos ceros. Desarrollar por ella deja un solo término:
detA=2det[1245]=2(5−8)=−6.
Hacer Sarrus o desarrollar por otra fila da el mismo resultado, pero agrega operaciones
y lugares donde equivocarse. Los ceros son información: usalos.
Triangular y multiplicar la diagonal
Cuando la matriz es densa, conviene llevarla a forma triangular con operaciones por filas.
En una triangular, el determinante es el producto de la diagonal. Sólo hay que registrar
qué le hace cada operación al resultado:
sumar a una fila un múltiplo de otra no cambia el determinante;
intercambiar dos filas cambia el signo;
multiplicar una fila por k multiplica el determinante por k.
La eliminación de Gauss usa principalmente la primera operación, así que permite crear
ceros sin alterar el valor. Si intercambiás filas para conseguir un pivote, anotá un
factor −1. Si normalizás una fila, anotá el factor que sacaste.
El mismo ejemplo, por triangulación
Para
B=12−1250132,
hacemos F2←F2−2F1 y F3←F3+F1. Ninguna cambia el
determinante:
100212113.
Después F3←F3−2F2:
100210111.
El producto diagonal es 1. Tres operaciones simples reemplazaron seis términos con
signos alternados.
Qué método usar en cada caso
La estrategia queda así:
Si es 2×2, usar ad−bc.
Si una fila o columna tiene muchos ceros, desarrollar por cofactores ahí.
Si es triangular o por bloques, aprovechar la estructura.
Si es densa, triangular sin normalizar filas y llevar la cuenta de intercambios.
Sarrus sirve sólo para 3×3. No generaliza y suele ocultar la estructura, así que
es un atajo puntual, no un método para aprender determinantes.
Cómo se calcula de verdad
Método
Costo
Cuándo se usa
Regla de 2×2 y de Sarrus
trivial
2×2 y 3×3, a mano
Cofactores
factorial
demostraciones, y matrices con muchos ceros
Eliminación gaussiana
cúbico
es lo que hace cualquier biblioteca
Descomposición LU
cúbico, reutilizable
cuando además hay que resolver sistemas
La diferencia entre la segunda y la tercera fila no es de eficiencia: es entre calculable e incalculable. Con 20×20, cofactores son 10¹⁸ operaciones y la eliminación son unas 5000.
Lo que preguntan sobre esto
Cierre
La cuenta correcta empieza antes del primer número. Mirar ceros, bloques y pivotes decide
si el ejercicio dura treinta segundos o cinco minutos. Cofactores explotan la dispersión;
Gauss fabrica una triangular. Elegir entre los dos es parte del problema, no un detalle
de presentación.