El límite mira los alrededores del punto y no el punto. Por eso una función puede tener límite donde no está definida, y puede estar definida con un valor que no coincide con su límite. Son dos preguntas distintas, y confundirlas es el error que más discontinuidades deja sin clasificar.
Idea clave
El límite es la respuesta a «adónde va», no a «cuánto vale». Existe cuando los dos lados se ponen de acuerdo, puede existir donde la función no está definida, y es la herramienta que convierte un $0/0$ en un número. Todo lo que viene después —continuidad, derivada, integral— es esta misma pregunta hecha sobre otra cosa.
Así te lo toman
Casi siempre con funciones lineales, donde $\delta$ sale despejando: si $f(x)=3x+1$ y querés $|f(x)-7|<\varepsilon$, entonces $|x-2|<\varepsilon/3$, así que $\delta=\varepsilon/3$ sirve. La respuesta completa es exhibir ese $\delta$ en función de $\varepsilon$, no describir la idea.
Una indeterminación es una pregunta sobre velocidades relativas: cuál de los dos tiende a su valor más rápido. Toda la técnica consiste en reescribir la expresión hasta que esa carrera quede a la vista.
Idea clave
Una indeterminación es una carrera entre dos cosas que tienden a lo mismo, y el álgebra sirve para ver quién gana. Factorizar, racionalizar y dividir por la potencia mayor resuelven casi todo lo que se toma; lo demás es reconocer el número $e$ y no aplicar L'Hôpital fuera de sus dos casos.
Así te lo toman
Aplicar L'Hôpital a algo que no es $0/0$ ni $\infty/\infty$. Derivar arriba y abajo cuando el límite ya está determinado da un número distinto del correcto, y no hay forma de que la cuenta avise: verificar la forma antes de derivar es parte del método.
La continuidad es lo que autoriza a reemplazar. En las indeterminaciones el reemplazo falla justamente porque la función no es continua en ese punto: hay un agujero, un salto o una asíntota.
Idea clave
Continua en un punto es que el límite exista, que el valor exista y que sean iguales. Si falla la tercera, la discontinuidad se evita redefiniendo; si falla la segunda, no hay arreglo posible. Y una vez que la función es continua en un intervalo cerrado, Bolzano y Weierstrass garantizan raíces y extremos que de otro modo habría que suponer.
Así te lo toman
Continua, intervalo cerrado y cambio de signo. Si falta la continuidad el teorema no dice nada: $1/x$ pasa de negativa a positiva entre $-1$ y $1$ y no tiene ninguna raíz. En un parcial, el enunciado que hay que citar incluye la hipótesis, no sólo la conclusión.
La derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente ahí, y la recta tangente es la que mejor imita a la curva cerca de ese punto. Todas las aplicaciones —velocidad, costo marginal, crecimiento— son esta misma pendiente con otras unidades.
Idea clave
La derivada es el límite de la pendiente promedio cuando el intervalo se achica: la velocidad con la que una cosa cambia respecto de otra. Su signo dice si sube o baja, su cero marca dónde da la vuelta y sus unidades dicen qué representa en cada problema. La tabla de derivadas es el resultado de hacer ese límite una vez por función.
La regla se elige por la estructura, no por las funciones que aparecen. $\sqrt{x}\,e^x$ y $\sqrt{e^x}$ tienen las mismas dos funciones y piden reglas distintas: la primera es un producto, la segunda una composición.
Idea clave
Leé la estructura antes de derivar: suma, producto, cociente o composición. El producto suma dos términos, el cociente resta en ese orden y sobre $g^2$, y la cadena multiplica por la derivada de lo de adentro. Ese último factor es el que falta cada vez que una derivada da parecida a la función original.
Así te lo toman
En los parciales largos, anotar a un costado $f$, $g$, $f'$ y $g'$ antes de reemplazar en la fórmula ahorra la mayoría de los errores: el problema casi nunca es la regla, es perder un signo o un factor mientras se hace todo de memoria en un renglón.
Extremo interior implica derivada cero. Al revés no: $f(x)=x^3$ tiene derivada cero en el origen y ahí no hay ni máximo ni mínimo, sólo un punto donde la curva se aplana y sigue subiendo.
Idea clave
Derivada cero marca candidatos. El cambio de signo de $f'$ decide qué son y nunca falla; la segunda derivada es un atajo que se rinde cuando da cero. Y si el problema es en un intervalo cerrado, los bordes son candidatos tan buenos como los puntos críticos.
Así te lo toman
«Hallar el máximo de $f(x)=x^2$ en $[-1,3]$» tiene como respuesta $9$, que está en $x=3$, donde la derivada vale $6$ y no cero. El único punto crítico, el origen, es el mínimo. Si el método arranca y termina en $f'(x)=0$, este ejercicio sale mal siempre.
La restricción no se deriva: se usa para despejar una variable y meterla adentro de la función objetivo. Recién cuando el objetivo quedó en una sola variable se deriva.
Idea clave
Separá objetivo y restricción, usá la restricción para dejar una sola variable, anotá el dominio y recién ahí derivá. Ese orden convierte cualquier enunciado en un ejercicio de máximos y mínimos común, y deja como único trabajo de interpretación el que corresponde: leer qué se quiere optimizar.
Así te lo toman
Muchos enunciados preguntan «¿qué dimensiones?» y la cuenta termina dando una sola. Volver a la restricción y dar las dos —con unidades— es parte de la respuesta, igual que verificar que el resultado tenga sentido físico: un lado negativo significa que se despejó mal.
La integral definida es un número, no una función: el límite de una suma. Que se calcule con primitivas es un descubrimiento posterior —el teorema fundamental— y no forma parte de la definición.
Idea clave
Integrar es acumular: partir, multiplicar cada pedacito por su altura, sumar y achicar. De esa construcción salen el signo, las propiedades y el hecho de que la respuesta no siempre sea un área. Las técnicas de cálculo vienen después; ésta es la definición.
Así te lo toman
Aparecen al revés: dan una suma con sigma y piden reconocer de qué integral viene. La clave es identificar el $\Delta x$ —el factor que se repite y tiende a cero— y ver entre qué valores se mueve $xi$: eso da los límites de integración y la función.
Derivar la función que acumula devuelve la función original. Lo que se acumula por unidad de tiempo es, justamente, el valor que se está acumulando: dicho con la velocidad, la derivada de la distancia recorrida es la velocidad con la que se recorre.
Idea clave
La función que acumula tiene por derivada a la función que acumula: por eso integrar es deshacer derivar. La consecuencia práctica es Barrow —evaluar una primitiva en los dos extremos y restar— y la consecuencia conceptual es que todo el cálculo es una sola teoría y no dos.
Si en la integral ves una función adentro de otra y, multiplicando, algo parecido a la derivada de la de adentro, la sustitución sale. Si ese factor no está, sustituir no arregla nada: hay que buscar otra técnica.
Idea clave
Sustituir es deshacer la regla de la cadena: sirve cuando hay una composición y la derivada de lo de adentro anda multiplicando. Se elige lo de adentro como $u$, no puede sobrar ninguna $x$, las constantes se acomodan y las variables se ajustan solas si cambiás los límites. Y siempre se puede verificar derivando.
Así te lo toman
Derivar el resultado es la única técnica de integración que se verifica sola en diez segundos. Un signo perdido o una constante mal ajustada aparecen ahí, y en un parcial eso vale más que revisar toda la cuenta de nuevo.
Por partes no resuelve la integral: la cambia por otra. Todo el criterio de elección consiste en que la integral nueva sea más fácil que la original, y eso depende de qué factor se derive.
Idea clave
Por partes cambia una integral por otra, así que lo único que importa es que la nueva sea más fácil: como $u$ va lo que se simplifica al derivarse, siguiendo ILATE. Si la integral vuelve sobre sí misma, se despeja; si aparece un polinomio de grado alto, se repite bajando el grado.
Así te lo toman
Si en la primera vuelta tomaste la exponencial como $dv$, en la segunda también. Cambiar el criterio a mitad de camino deshace lo hecho y devuelve la identidad $I = I$, que es cierta y no sirve para nada. Es el error más común de este ejercicio y se detecta al llegar a esa igualdad.
La altura de cada rectángulo es «la de arriba menos la de abajo», y eso vale aunque las dos curvas estén debajo del eje: si las dos son negativas, la resta sigue siendo positiva. Por eso este método no necesita ningún cuidado especial con los signos de las funciones, sólo con cuál está más arriba.
Idea clave
Dibujar, encontrar los cruces, decidir quién va arriba en cada tramo e integrar la diferencia. Un resultado negativo significa resta invertida y un cero sospechoso significa un cruce ignorado: las dos señales se leen antes de revisar la cuenta entera.
Así te lo toman
Dibujá la región y probá mentalmente con un rectángulo vertical: si al moverlo de izquierda a derecha su techo o su piso cambian de fórmula, hay que partir. Si con uno horizontal eso no pasa, conviene integrar respecto de $y$.
Cada término agrega una derivada copiada. Los factoriales no son decoración: son exactamente lo que hace falta para que al derivar $n$ veces el término $n$ quede valiendo $f^{(n)}(a)$ y los demás se anulen.
Idea clave
El polinomio de Taylor copia el valor y las primeras $n$ derivadas de la función en un punto, y por eso se le parece cerca de ahí. Sumar términos mejora la precisión, alejarse la destruye, y el resto de Lagrange es lo que permite decir cuánto vale la aproximación en vez de confiar.
Así te lo toman
«¿Cuántos términos hacen falta para calcular $e^{0,5}$ con error menor que $10^{-4}$?» se resuelve acotando la derivada —para la exponencial, por $e^{0,5} < 2$— y despejando el primer $n$ que hace la cota lo bastante chica. La respuesta es un número entero, y el desarrollo no hay que escribirlo.
Faltan 5 temas de esta unidad por escribir.
atlas.matiascaliz.com.ar/materias/analisis-1 — si algo de acá no se entiende solo, el post completo lo explica.