Problemas de optimización: del enunciado a la cuenta
Lo difícil no es derivar: es escribir qué se quiere hacer máximo y usar el dato que sobra para dejarlo en una sola variable.
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En un problema de optimización, la parte que se enseña —derivar e igualar a cero— es la que
menos falla. Lo que deja la hoja en blanco es lo anterior: el enunciado habla de un corral, de
una lata o de un costo de envío, y hay que convertirlo en una función de una variable.
Ese pasaje tiene un procedimiento fijo, y una vez que la función está escrita el resto es
buscar sus extremos como en cualquier otro ejercicio.
Siempre hay dos ecuaciones
Todo problema de optimización trae dos cosas distintas, y confundirlas es el error de fondo:
La función objetivo: lo que se quiere hacer máximo o mínimo. El área, el costo, el
volumen, la distancia.
La restricción: el dato que limita. Los metros de alambre disponibles, el volumen que la
lata tiene que contener, que el punto esté sobre una recta.
Si derivás la restricción, o si derivás una función de dos variables como si fuera de una, el
resultado no significa nada. La pregunta de control antes de derivar es: ¿en mi expresión
aparece una sola letra además de los números?
El procedimiento, en orden
Dibujá y nombrá. Un esquema con las letras puestas resuelve la mitad de los enunciados de
geometría.
Escribí la función objetivo con las letras que haga falta, aunque sean dos.
Escribí la restricción como una ecuación.
Despejá una variable en la restricción y reemplazala en el objetivo.
Anotá el dominio. Un lado no puede ser negativo ni más largo que el alambre disponible:
eso define un intervalo, y los bordes son candidatos.
Derivá, igualá a cero y clasificá el punto crítico.
Contestá lo que preguntaron. Si pidieron las dimensiones, el número crítico no es la
respuesta completa: hay que volver a la restricción y calcular la otra.
El corral contra el río
Hay 100 metros de alambre para cerrar un rectángulo contra un río, que no necesita alambre. ¿Qué
dimensiones dan el área máxima?
Llamemos a los dos lados perpendiculares al río e al lado paralelo. El objetivo es el
área y la restricción es el alambre:
Despejando y reemplazando:
Ahora sí hay una sola variable. Derivando, , que se anula en . Como
, es un máximo. El otro lado es y el área máxima es
.
Recorré la curva: el área sube, llega a un techo y vuelve a bajar, y en el punto más alto la tangente queda horizontal. Cambiá los metros de alambre y fijate que el óptimo siempre cae en la cuarta parte del total, con el lado paralelo al río midiendo la mitad: la forma de la respuesta no depende del número del enunciado.f(x) = x * (p - 2 * x)
Antes de seguir, predecí
Los cuatro enunciados de siempre
Enunciado
Objetivo
Restricción
Corral, jardín, cartel
Área
Perímetro o material disponible
Lata o caja de volumen fijo
Superficie de material
Volumen dado
Punto de una curva más cercano a otro punto
Distancia (o su cuadrado)
Que el punto esté sobre la curva
Precio contra cantidad vendida
Ingreso o ganancia
La demanda en función del precio
En la tercera fila conviene minimizar el cuadrado de la distancia: tiene el mínimo en el mismo lugar, porque la raíz es creciente, y evita derivar una raíz sin necesidad.