Las propiedades del determinante parecen una lista arbitraria hasta que recordás qué mide:
volumen orientado. Intercambiar filas da vuelta la orientación, escalar una fila estira
una dirección y sumar un múltiplo de otra apenas inclina el sólido. La lista entera sale
de mirar qué movimiento hiciste.
Qué le hace cada operación por filas
Las tres operaciones elementales por filas tienen efectos distintos:
Fi↔Fj⇒det cambia de signo,Fi←kFi⇒det se multiplica por k,Fi←Fi+kFj⇒det no cambia.
La primera invierte la orientación. La segunda estira el sólido en una dirección. La
tercera es una cizalla: deforma la figura pero conserva su volumen. Estas reglas son el
motor detrás del cálculo por triangulación.
Antes de seguir, predecí
Escena 1
movela
Cargando la escena…
Lineal en cada fila, no en la matriz
El determinante es lineal en cada fila si las demás quedan fijas. Por ejemplo,
det[u+vw]=det[uw]+det[vw].
También se puede sacar un escalar de una fila. Si toda una matriz n×n se multiplica
por k, se escalan sus n filas, por lo que
det(kA)=kndet(A).
El exponente n es inevitable: duplicar todas las longitudes duplica el área por 22
y el volumen por 23.
Dos filas iguales dan cero, y por qué
Si dos filas son iguales, intercambiarlas no modifica la matriz. Pero la regla de
intercambio dice que el determinante debería cambiar de signo. La única forma de que un
número sea igual a su opuesto es que sea cero.
El mismo razonamiento se extiende a filas dependientes: si una dirección se puede formar
con las otras, el paralelepípedo queda aplastado y pierde volumen. Por eso
detA=0⟺filas y columnas dependientes⟺A no es invertible.
El determinante de un producto
Al componer transformaciones, los factores de volumen se multiplican:
det(AB)=det(A)det(B).
El orden de las matrices puede cambiar el resultado geométrico, pero no el determinante
del producto, porque los números sí conmutan:
det(AB)=det(A)det(B)=det(B)det(A)=det(BA).
Eso no dice que AB=BA. Dice solamente que ambas composiciones terminan escalando el
volumen por el mismo factor.
Inversa y transpuesta
Como AA−1=I y detI=1,
det(A−1)=detA1.
La fórmula sólo tiene sentido si detA=0, exactamente la condición para que exista
la inversa. La transpuesta, en cambio, conserva el determinante:
det(AT)=det(A).
Transponer intercambia el papel de filas y columnas. El volumen que generan no cambia;
sólo cambia desde qué conjunto de vectores lo describimos.
Contestar sin calcular nada
Estas propiedades permiten contestar mucho sin desarrollar ninguna fórmula. Si
detA=−2 para una matriz 3×3, entonces:
det(AT)=−2;
det(A−1)=−1/2;
det(3A)=33(−2)=−54;
det(A2)=(−2)2=4.
El error frecuente es olvidar la dimensión en det(kA) o confundir det(A2) con
2detA. Uno escala todas las filas; el otro compone la transformación consigo misma.
Las propiedades que ahorran cuentas
Propiedad
Qué dice
Para qué sirve
det(AB) = det(A)·det(B)
es multiplicativo
el determinante de una composición sin multiplicar matrices
det(Aᵀ) = det(A)
filas y columnas dan igual
se puede desarrollar por donde convenga
det(A⁻¹) = 1/det(A)
la inversa escala al revés
sale de la primera con B = A⁻¹
Fila repetida ⇒ 0
dependencia lineal
detectar singularidad sin calcular
Triangular ⇒ producto de la diagonal
el caso fácil
es el método que se usa de verdad
La última fila es la que importa en la práctica: ningún programa calcula determinantes con cofactores, los calcula triangulando y multiplicando la diagonal.
En la práctica
Cierre
No guardes siete reglas aisladas. Guardá tres imágenes: volumen que se estira, orientación
que se invierte y dimensión que colapsa. Producto, inversa, dependencia y operaciones por
filas son consecuencias de esas tres. Cuando una fórmula se te borre en el parcial, la
geometría todavía la puede reconstruir.