Las cuatro matrices que aparecen en todos lados

En la práctica de transformaciones lineales aparecen siempre las mismas cuatro: rotación, reflexión, proyección y cizalla. No son cuatro casos particulares para memorizar: son las cuatro cosas distintas que le pueden pasar al plano, y cada una se reconoce mirando la matriz un segundo.

La rotación no cambia nada: ni longitudes, ni ángulos, ni áreas. Solo gira.

El determinante da exactamente 1 porque nada se agranda y nada se da vuelta. Y una rotación de verdad —salvo la de 0° y la de 180°— no tiene autovectores reales: si toda dirección gira, ninguna dirección queda igual. Probá el preset “Rotar 90°” en la escena y mirá el panel: no aparece ninguna línea punteada.

Ese es el ejemplo estándar de matriz sin autovalores reales, y no es un caso patológico inventado por la cátedra: es la matriz más común que existe.

La reflexión también conserva longitudes y áreas, pero da vuelta el plano, y eso se lee en el signo:

Un determinante negativo siempre significa lo mismo: la orientación se invirtió, lo que estaba a la izquierda quedó a la derecha. Por eso una reflexión nunca se puede lograr rotando, por más que gires: rotar deja el determinante en $+1$ y el signo no se cambia solo.

Los autovectores de una reflexión son los dos que uno esperaría: la recta del espejo, que queda quieta ($\lambda = 1$), y la dirección perpendicular, que se da vuelta ($\lambda = -1$). Se pueden leer sin resolver el polinomio característico, solo pensando qué hace un espejo.

La proyección es la única de las cuatro que pierde información. Aplasta todo el plano sobre una recta:

Determinante cero, núcleo no trivial, sin inversa: todo lo de la unidad anterior aparece acá junto. Lo que se aplastó no se puede recuperar, porque una recta entera de puntos distintos terminó en el mismo lugar.

Tiene además una marca propia, muy fácil de reconocer en un enunciado:

Proyectar dos veces es lo mismo que proyectar una: lo que ya está sobre la recta no se mueve más. Cuando un ejercicio te dice “sea $T$ tal que $T^2 = T$”, te está diciendo “esto es una proyección”, aunque no use la palabra.

La cizalla es la más rara de las cuatro y la que mejor rompe la intuición:

Determinante 1: conserva las áreas. Y sin embargo deforma todo — los ángulos se arruinan, las longitudes cambian. Es la prueba de que conservar el área no tiene nada que ver con conservar la forma.

En la escena, la cizalla tiene una sola dirección invariante, el eje horizontal, y un solo autovalor $\lambda = 1$ repetido. Ese es el ejemplo típico de matriz que no diagonaliza: le falta un autovector para armar una base, y no hay forma de conseguirlo. Cuando en la unidad de diagonalización aparezca la forma de Jordan, va a estar hablando de esta matriz.

Las cuatro, juntas, se distinguen por dos preguntas: cuánto vale el determinante y qué direcciones quedan fijas.

Con esa tabla, un ejercicio que diga “clasificar la transformación” se responde sin resolver nada.

Estas cuatro no son ejemplos de juguete. Una rotación y una escala componen todo lo que hace un motor gráfico; una proyección es lo que hace cuadrados mínimos cuando tira los datos sobre el subespacio donde vive el modelo. Aprendértelas acá, con un plano adelante, es aprendértelas para las tres materias que vienen después.