Por qué el producto de matrices se hace así

El producto de matrices es la operación peor vendida de toda la carrera. Fila por columna, sumás, ponés el número en el casillero, y nadie te explica de dónde salió esa regla tan rara. Sale de un lugar muy simple: multiplicar es encadenar.

Aplicá una transformación a un vector y después otra al resultado:

Como las dos son lineales, hacer las dos seguidas también es lineal, así que tiene que haber una sola matriz que haga las dos de una. Esa matriz es el producto:

Eso es todo lo que significa $AB$: la transformación “primero $B$, después $A$”. La regla de fila por columna es simplemente la cuenta que hay que hacer para encontrar las columnas de esa matriz única. Es el método, no la idea.

De ahí sale la incomodidad de que $AB$ se lea de derecha a izquierda: la que actúa primero es la que está más cerca del vector. No es una convención molesta, es la única que funciona, porque el vector se escribe a la derecha.

Y ahí también está la regla de las dimensiones. Para que $AB$ tenga sentido, la salida de $B$ tiene que ser la entrada de $A$: si $B$ manda de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^m$, entonces $A$ tiene que salir de $\mathbb{R}^m$. Las columnas de una tienen que coincidir con las filas de la otra. No hay nada que memorizar: son cañerías que tienen que enchufar.

La escena hace los dos pasos por separado: la barra “Paso” recorre primero una transformación y después la otra sobre lo que quedó. La F asimétrica está ahí a propósito, porque con un cuadrado no se nota si algo se dio vuelta.

Ahora el experimento importante. Dejá “Rotar 90°” y “Cizalla” y apretá Invertir el orden. La figura final no es la misma. Ninguna de las dos transformaciones cambió: lo único que cambió es cuál se hizo primero.

Vista como cuentas, esa desigualdad es una arbitrariedad que hay que aceptar. Vista como acciones, es de sentido común: ponerte las medias y después los zapatos no es lo mismo que ponerte los zapatos y después las medias. El producto de matrices es composición, y componer nunca fue conmutativo.

Mirá el determinante mientras cambiás las transformaciones. Si la primera duplica las áreas y la segunda las triplica, la combinación las multiplica por seis:

Esta propiedad se demuestra en el teórico con un despliegue de cuentas considerable, y mirando la escena es una obviedad: si primero estirás el área por un factor y después por otro, los factores se multiplican. Eso es lo que hacen los factores.

Y de yapa sale un caso límite: si alguna de las dos aplasta el plano ($\det = 0$), el producto también da cero. Lo que se aplastó no se puede volver a levantar.

Ese caso límite es la puerta de entrada a la inversa. Apretá Deshacer la 1ª: la segunda transformación pasa a ser la que devuelve todo a su lugar, y la grilla termina exactamente como empezó.

La matriz identidad no es “la matriz con unos en la diagonal”: es la transformación que no hace nada, y por eso sus columnas son î y ĵ sin mover. Y la inversa es la transformación que deshace la otra.

Con eso, la pregunta “¿esta matriz tiene inversa?” deja de necesitar una fórmula. Tiene inversa si el movimiento se puede deshacer. Una rotación se deshace rotando al revés. Una cizalla, cizallando al revés. Un aplastamiento no se deshace de ninguna manera, porque dos puntos distintos terminaron en el mismo lugar y ya no hay forma de saber de dónde vino cada uno. Determinante cero, sin inversa: es la misma frase.

Última gratis. El producto de matrices sí es asociativo:

Demostrarlo con sumatorias es un ejercicio tedioso de índices. Pensarlo como acciones es inmediato: las dos expresiones dicen “hacer $C$, después $B$, después $A$”. Agrupar distinto no cambia el orden en que ocurren las cosas, y el orden es lo único que importa.

Fila por columna te va a seguir haciendo falta para sacar el número en el parcial. Pero cuando tengas que decidir en qué orden multiplicar, por qué no se puede invertir algo, o qué le pasa al determinante, no vuelvas a la cuenta: volvé a la pregunta de qué movimiento estás haciendo primero.