Cómo se arma la matriz de una transformación

“Sea $T$ la rotación de 30° en sentido antihorario. Hallar su matriz.” Y ahí te quedás mirando el enunciado como si faltara información. No falta: la matriz ya está escrita en la frase, solo que en castellano. Pasarla a números son dos cuentas.

La receta entera es una línea: transformá los versores y poné los resultados como columnas.

Y no es un truco de examen: es la definición leída al derecho. Como una transformación lineal cumple $T(x\hat{\imath} + y\hat{\jmath}) = xT(\hat{\imath}) + yT(\hat{\jmath})$, saber dónde caen î y ĵ es saberlo todo. La matriz no es más que esa información guardada en una tabla.

Volvamos a la rotación de 30°. ¿Dónde cae î? Arranca en $(1, 0)$, o sea sobre el eje $x$, y al rotarlo un ángulo $\theta$ queda en $(\cos\theta, \sin\theta)$. Esa es la primera columna, y no hace falta más que la definición de seno y coseno.

¿Y ĵ? Arranca en $(0, 1)$ y rota lo mismo: termina en $(-\sin\theta, \cos\theta)$. Si te cuesta el signo, dibujá el caso $\theta = 90°$: ĵ tiene que terminar apuntando a la izquierda, así que la coordenada $x$ tiene que dar negativa.

Esta es la matriz que en todos los apuntes aparece caída del cielo. Sale de mirar dos flechas.

En la escena, cada slider mueve la punta de una flecha, y cada flecha es una columna. Probá al revés de lo que venís haciendo en la práctica: en vez de calcular qué hace una matriz dada, poné las flechas donde querés que caigan y mirá los números que quedan. La matriz de cualquier transformación que se te ocurra sale así, sin cuentas.

Ahora la parte que suele romper todo: la matriz de $T$ depende de la base que elijas.

î y ĵ no tienen nada de sagrado, son la base que alguien eligió primero. Si describís los vectores con otra base $B = \{v_1, v_2\}$, la misma transformación se escribe con otros números:

La receta no cambió ni un poco: seguís transformando los vectores de la base y poniendo los resultados como columnas. Lo único nuevo es que las coordenadas del resultado también hay que escribirlas en esa base, no en la canónica. Ahí es donde se pierde la mitad del curso, y es un problema de contabilidad, no de concepto.

¿Para qué querría alguien complicarse con otra base? Porque con la base bien elegida la matriz se vuelve casi vacía.

Pensá en la proyección sobre una recta cualquiera. En la base canónica es una matriz con cuatro números incómodos. Pero si tomás como base un vector sobre la recta y otro perpendicular, la transformación queda “el primero se queda, el segundo se muere”:

Misma transformación, mismo plano, otra descripción. Toda la unidad de diagonalización que viene después es esta idea llevada al extremo: buscar la base en la que la matriz sea lo más simple posible.

Si te acordás de una sola cosa de todo esto, que sea el orden en que se hacen las preguntas: primero ¿dónde cae cada vector de la base?, después ¿cómo escribo eso en coordenadas?. La matriz es la respuesta a esas dos preguntas puesta en columnas. Nunca es otra cosa.