Lo que la matriz aplasta y lo que deja

Núcleo, imagen, rango, nulidad. Cuatro palabras, cuatro definiciones para memorizar y un teorema que las junta y que parece magia. En realidad hay una sola pregunta: cuando la matriz deforma el plano, ¿qué se aplasta y qué queda?

Empecemos por el caso raro, que es el que enseña.

Poné en la escena la matriz que aplasta todo sobre una recta: mové los sliders hasta que las dos flechas queden alineadas. El cuadrado se convierte en un segmento, el área da cero y la grilla entera —un plano infinito— termina apretada en una sola recta.

Eso pasó de golpe, pero no pasó gratis: una dimensión entera desapareció. Todo un eje de vectores distintos terminó cayendo en el mismo lugar.

Los vectores que se aplastaron no se aplastaron en cualquier lado: se aplastaron al origen. Ese conjunto tiene nombre:

El núcleo es todo lo que la transformación manda a cero. Y acá está lo que casi nunca se dice: el núcleo nunca está vacío, porque el cero siempre va a parar al cero. La pregunta no es si hay algo adentro, es qué tan grande es.

• Núcleo $\{0\}$, o sea solo el cero: no se perdió nada, la transformación es inyectiva.
• Núcleo una recta: se perdió una dimensión.
• Núcleo todo el plano: la matriz es la matriz nula y aplastó absolutamente todo.

La imagen es la otra mitad de la pregunta: no qué se perdió, sino a dónde se llega.

En la escena, la imagen es literalmente lo que ves dibujado después de transformar: si la grilla sigue cubriendo todo el plano, la imagen es el plano; si colapsó sobre una recta, la imagen es esa recta.

Y como î y ĵ generan todo, sus destinos generan toda la imagen. O sea: la imagen es lo que generan las columnas de la matriz. Por eso el rango —la dimensión de la imagen— se calcula mirando cuántas columnas son linealmente independientes. No es una coincidencia de método: es la definición.

Ahora el teorema que parecía magia:

Leído con la escena adelante, es casi una obviedad contable: las dimensiones de salida no se crean ni se destruyen, se reparten. Cada dimensión del espacio de partida termina o aplastada en el núcleo, o sobreviviendo en la imagen. No hay tercera opción.

En el plano: si el núcleo es una recta (dimensión 1), a la imagen le queda 1, y por eso la grilla termina sobre una recta y no sobre un punto. Si el núcleo es solo el cero, la imagen se queda con las dos dimensiones y la transformación es inversible.

Esto no es geometría decorativa: es exactamente lo que decide si un sistema $Ax = b$ tiene solución y cuántas.

• ¿Hay solución? Solo si $b$ está en la imagen. Si $A$ aplastó el plano sobre una recta y tu $b$ quedó fuera de esa recta, no hay ningún $x$ que llegue. Sistema incompatible.
• ¿La solución es única? Solo si el núcleo es $\{0\}$. Si el núcleo es una recta, a cualquier solución le podés sumar cualquier vector del núcleo y seguís teniendo una solución. De ahí salen los infinitos resultados con parámetro que aparecen al resolver por Gauss.

Esa es toda la teoría de sistemas lineales, dicha en dos viñetas.

Determinante cero, columnas dependientes, núcleo no trivial, rango menor que 2, sistema con infinitas soluciones, matriz sin inversa: son seis formas de decir la misma cosa, y la cosa es que el plano se aplastó. Cuando las ves como una sola, la unidad entera se te vuelve corta.