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Análisis matemático ISucesiones y seriesTema 5

Series de Taylor: la curva como polinomio

Si conocés el valor y todas las derivadas de una función en un punto, podés reconstruirla alrededor. Eso es Taylor, y es cómo una calculadora hace un seno.

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Una calculadora no tiene ninguna tabla de senos adentro. Suma, resta, multiplica y divide, y con eso devuelve sin⁡(0,7)\sin(0{,}7) con quince decimales. La forma de hacerlo es reemplazar la función por un polinomio que se le parece mucho cerca de un punto.

Taylor es la receta para armar ese polinomio, y la idea es más simple de lo que sugiere la fórmula: hacer que coincidan el valor y todas las derivadas en un punto.

Copiar las derivadas, una por una

La aproximación más pobre es una constante: un polinomio de grado cero que vale lo mismo que la función en el punto. La siguiente es la recta tangente, que además copia la pendiente. La siguiente copia también la concavidad, y así.

Pn(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+⋯+f(n)(a)n!(x−a)nP_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

Con a=0a=0 la fórmula se llama serie de Maclaurin, y es la que aparece en las tres o cuatro series que conviene tener a mano:

ex=1+x+x22!+x33!+⋯e^{x} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdotssin⁡x=x−x33!+x55!−⋯\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots

Cuántos términos hacen falta

Esto no es el seno: es x − x³/6 + x⁵/120. Entre −2 y 2 se confunde con el seno hasta el segundo decimal; pasando 4 se escapa a toda velocidad. Recorrelo con el puntero y mirá los valores cerca del origen y en los bordes: ahí está todo lo que hay que saber sobre en qué consiste «aproximar cerca de un punto».f(x) = x - x ^ 3 / 6 + x ^ 5 / 120

Antes de seguir, predecí

El polinomio de Taylor de grado 5 del seno en x = 0, evaluado en x = 10, ¿qué da?

El resto: cuánto te estás equivocando

Aproximar sin saber el error no sirve para nada, y por eso Taylor viene con una cota. La forma de Lagrange del resto dice que el error de PnP_n es

Rn(x)=f(n+1)(c)(n+1)!(x−a)n+1R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

para algún cc entre aa y xx. No se sabe cuál es cc, y no hace falta: alcanza con acotar la derivada n+1n+1 para tener una cota del error.

Dos cosas se leen ahí y explican todo el comportamiento:

  • El factorial del denominador crece rapidísimo, así que sumar términos mejora mucho.
  • (x−a)n+1(x-a)^{n+1} crece con la distancia al punto, así que alejarse empeora mucho.

Para qué se usa fuera del parcial

DóndeQué se haceCon qué grado
Calculadoras y bibliotecasEvaluar sen, cos, exp y ln con sumas y productosEl que pida la precisión
FísicaAproximar sen θ ≈ θ para ángulos chicos1: el péndulo se vuelve lineal
Límites indeterminadosReemplazar cada función por su desarrollo y comparar términos2 o 3 suele alcanzar
Métodos numéricosDerivar el método de Newton y las fórmulas de error2
La segunda fila es la aproximación más rentable de la física: el péndulo simple sólo tiene solución cerrada porque alguien decidió quedarse con el primer término del seno.

Esa fila también explica un límite conocido: lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 es, en el lenguaje de Taylor, que sin⁡x\sin x y xx empiezan igual. Usar desarrollos es una forma de resolver indeterminaciones sin derivar una y otra vez.

Cierre

Autoevaluación

¿Lo entendiste?

¿Qué copia el polinomio de Taylor de grado n de una función en el punto a?
¿Por qué aparecen los factoriales en la fórmula?
El polinomio de Taylor del seno en 0 evaluado lejos del origen se dispara. ¿Por qué?
¿Para qué sirve el resto de Lagrange?