Qué le hace una matriz al espacio
Una matriz no es una tabla de números, es una instrucción para deformar todo el plano de una vez. Si leés sus columnas, deja de haber nada que memorizar.
Te enseñaron a multiplicar matrices como si fuera un trámite: fila por columna, sumar, anotar. Sale el número correcto y no entendés nada. El problema es que te mostraron el cálculo antes que la idea, y la idea es una sola: una matriz es una forma de mover todo el plano a la vez.
Imaginate el plano como una hoja cuadriculada infinita. Una transformación lineal la agarra y la estira, la rota o la aplasta, con dos reglas: el origen no se mueve, y las líneas rectas siguen siendo rectas y paralelas entre sí. No se puede curvar nada.
Eso es una restricción fuerte, y tiene una consecuencia enorme: si sabés dónde caen dos puntos, sabés dónde cae todo el resto. No hace falta seguir cada punto del plano, solo dos.
Los dos puntos que conviene mirar son los versores: î, que va una unidad a la derecha, y ĵ, que va una unidad para arriba.
Y acá está el truco que hace que todo encaje: las columnas de la matriz son exactamente dónde caen î y ĵ.
No es una convención arbitraria que hay que memorizar: es lo que la matriz significa. Movés los sliders de la escena y vas a ver que cada uno arrastra la punta de una flecha.
Cargando la escena…
Con eso, multiplicar una matriz por un vector deja de ser un procedimiento. El vector significa “andá pasos en dirección î y después pasos en dirección ĵ”. Después de la transformación, esa instrucción sigue valiendo, solo que î y ĵ ahora apuntan a otro lado:
Fila por columna da el mismo resultado, pero esto te dice por qué.
El cuadrado verde de la escena empieza midiendo 1 de área. Cuando movés la matriz, se convierte en un paralelogramo, y su área cambia. Ese número es el determinante.
Es un factor de escala: si da 3, toda figura del plano triplica su área. Si da 0.5, todas se reducen a la mitad. No importa la figura — vale para el cuadrado, para un círculo y para el mapa de tu barrio.
Y si da cero, el plano entero colapsó sobre una recta. Se perdió una dimensión, y no hay forma de volver: por eso una matriz con determinante cero no tiene inversa. No es una regla que hay que aprender, es lo único que puede pasar.
Probá el preset “Reflejar” y mirá el determinante: da negativo. El área no puede ser negativa, así que el signo está diciendo otra cosa. Está diciendo que el plano se dio vuelta: î quedó a la derecha de ĵ cuando antes estaba a la izquierda.
El valor absoluto te da cuánto se agrandó. El signo te dice si además se espejó.
Las líneas punteadas son las direcciones especiales de la transformación: los vectores que después de transformarse siguen apuntando para el mismo lado. Todo el resto del plano rota; ellos solo se estiran o se encogen.
Ese es cuánto se estiran, y se llama autovalor. Probá la cizalla: hay una sola dirección que sobrevive, el eje horizontal. Probá la rotación de 90°: no hay ninguna, y tiene sentido, porque una rotación no le deja el ángulo intacto a nadie.
Nada de esto es específico de dos dimensiones ni de la geometría. Es la misma idea que después aparece en PCA, en las ecuaciones diferenciales, en los gráficos 3D de un videojuego y en los modelos de riesgo de un banco. Cambia de qué son las coordenadas, no qué hace la matriz.