Área entre curvas: quién va arriba

La fórmula del área entre dos curvas cabe en un renglón y los ejercicios salen mal igual, casi siempre por lo mismo: los límites de integración no venían dados, las curvas se cruzan en el medio, o la resta quedó al revés y el área dio negativa.

Las tres cosas se arreglan con un dibujo y con un criterio: arriba menos abajo, en cada tramo por separado.

Por qué es una resta

Volviendo a los rectángulos de Riemann: entre dos curvas, cada rectángulo va desde la de abajo hasta la de arriba, así que su altura es la diferencia.

El área bajo una curva es el caso particular en que la de abajo es el eje, o sea $g(x)=0$.

Los límites salen de la intersección

Cuando el enunciado no da el intervalo, lo da la geometría: las curvas encierran una región entre sus puntos de cruce, y esos puntos salen de igualar.

Con $y = x^2$ e $y = x + 2$: $x^2 = x+2$, o sea $x^2 - x - 2 = 0$, con raíces $-1$ y $2$. Entre esos valores, la recta va por arriba, así que

Cuando se cruzan en el medio

Si las curvas se cruzan adentro del intervalo, la de arriba cambia, y una sola integral da la diferencia con signo y no el área.

Con $y=x^3$ e $y=x$ entre $-1$ y $1$ hay tres cruces y dos tramos: en $(-1,0)$ manda la cúbica y en $(0,1)$ la recta. Una sola integral de $x - x^3$ sobre todo el intervalo da cero por simetría, y el área es $1/2$.

A veces conviene integrar respecto de y

Cuando la región está encerrada por curvas que se abren hacia el costado —una parábola acostada como $x = y^2$ y una recta—, partir en $x$ obliga a dividir en dos tramos, porque la frontera de abajo cambia de fórmula. Girando la cabeza noventa grados, el problema es el de siempre:

Los rectángulos ahora son horizontales, y la resta es «el de la derecha menos el de la izquierda». Es la misma idea con los ejes intercambiados, y en esos casos convierte dos integrales en una.

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