Integración por partes: elegir bien u

La fórmula es una línea; lo que decide si el ejercicio sale es cuál de los dos factores se deriva y cuál se integra. Hay una regla para elegir.

4 min de lectura3 bloques para tocar22 de sept de 2026

Por partes es la técnica para los productos que no se arreglan con sustitución: $x\,e^x$ , $x\ln x$ , $x\sin x$ . La fórmula es corta y la trampa está en el primer paso, porque una elección al revés convierte una integral fácil en una peor.

No hace falta adivinar: hay un orden de preferencia, y funciona casi siempre.

De dónde sale la fórmula

Es la regla del producto integrada. Si $(uv)' = u'v + uv'$ , entonces integrando los dos lados:

uv = \int u'v\,dx + \int uv'\,dx

y despejando queda la fórmula que se usa:

\int u\,dv = uv - \int v\,du

De ahí sale el criterio: $u$ conviene que sea algo que se simplifica al derivarse, y $dv$ algo que se sepa integrar sin esfuerzo.

El orden de preferencia

La regla nemotécnica es ILATE: el primero de la lista que aparezca es el que se elige como $u$ .

Letra	Tipo de función	Por qué va adelante
I	Inversas trigonométricas (arcsen, arctg)	Su derivada es algebraica: pasa de rara a manejable
L	Logarítmicas (ln x)	La derivada es 1/x, que simplifica; integrar ln x es más trabajo
A	Algebraicas (x, x², polinomios)	Derivar baja el grado, y repitiendo se llega a una constante
T	Trigonométricas (sen, cos)	Ni mejora ni empeora al derivar: casi siempre va como dv
E	Exponenciales (e^x)	Se integra sin costo, así que sirve como dv

La fila del medio es la más común: en ∫ x·e^x dx, la A va antes que la E, así que u = x y dv = e^x dx. Derivar la x la convierte en 1 y la integral nueva es inmediata.

Antes de seguir, predecí

Para ∫ x·ln x dx, ¿qué conviene tomar como u?

El ejemplo canónico

\int x\,e^{x}\,dx

Con $u = x$ y $dv = e^x dx$ , sale $du = dx$ y $v = e^x$ . Reemplazando:

\int x\,e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x-1) + C

La integral nueva no tiene la $x$ que molestaba: eso es lo que hay que buscar al elegir. Si el polinomio fuera $x^2$ , habría que aplicar la técnica dos veces, bajando el grado en cada vuelta.

La suma de los rectángulos da aproximadamente 1. Y la primitiva confirma por qué: e^x(x − 1) evaluada entre 0 y 1 da 0 − (−1) = 1, exactamente. Es la misma comprobación que conviene hacer en el parcial, pero con números en vez de rectángulos.f(x) = x * exp(x)

Cuando vuelve la integral original

Con $\int e^{x}\sin x\,dx$ pasa algo que asusta: se aplica por partes dos veces y reaparece la integral del principio. No es un error, es el atajo.

Si llamás $I$ a la integral original, después de dos vueltas queda algo de la forma $I = (\text{algo}) - I$ , y eso se despeja como una ecuación: $2I = (\text{algo})$ .

Cierre

Autoevaluación

¿Lo entendiste?

¿De qué regla de derivación sale la integración por partes?

En ∫ x²·cos x dx, ¿qué conviene como u?

Después de aplicar por partes dos veces reaparece la integral original. ¿Qué se hace?

¿Cómo se integra ln x?