Integración por sustitución: deshacer la cadena

Sustituir no es probar con una letra: es reconocer que adentro de la integral está la derivada de algo. Ese reconocimiento es toda la técnica.

5 min de lectura3 bloques para tocar22 de sept de 2026

La sustitución se enseña como un juego de reemplazos: llamá $u$ a algo, calculá $du$ , reemplazá. El problema es el «algo»: si la elección se hace al azar, la integral queda peor que antes y no hay forma de saber por qué.

Hay un criterio, y es corto. La sustitución es la regla de la cadena leída al revés, así que funciona exactamente cuando en el integrando está una función compuesta multiplicada por la derivada de lo de adentro.

De dónde sale la técnica

Derivando una composición, la cadena deja un factor extra:

\big(F(g(x))\big)' = F'(g(x))\cdot g'(x)

Leyendo esa igualdad de derecha a izquierda, ya está la regla de integración:

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = F(g(x)) + C

Con la notación de $u$ : se elige $u = g(x)$ , se escribe $du = g'(x)\,dx$ , y la integral queda $\int f(u)\,du$ , que es una de la tabla.

Un ejemplo, paso a paso

\int 2x\,\cos(x^2)\,dx

Adentro del coseno hay $x^2$ , y afuera está multiplicando $2x$ , que es su derivada. Es el caso exacto de la regla.

Elegí lo de adentro: $u = x^2$ .
Diferenciá: $du = 2x\,dx$ . Fijate que el $2x\,dx$ está entero en la integral.
Reemplazá todo: la integral queda $\int \cos u\,du$ . No puede sobrar ninguna $x$ ; si sobra, la elección no era la correcta.
Integrá en $u$ : $\sin u + C$ .
Volvé a $x$ : $\sin(x^2) + C$ . En una integral indefinida este paso es obligatorio.
Verificá derivando: la derivada de $\sin(x^2)$ es $2x\cos(x^2)$ . Cierra.

Cuando el factor está pero le falta un número

Casi nunca aparece el factor justo. Si está la $x$ pero no el $2$ , se acomoda con una constante, porque las constantes entran y salen de la integral.

\int x\,e^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int 2x\,e^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}e^{x^2} + C

Antes de seguir, predecí

En ∫ x·cos(x²) dx se elige u = x². ¿Qué queda?

Lo que no se puede hacer es compensar con algo que tenga $x$ : sacar afuera una variable no es legal, y ahí es donde la técnica se rompe. Si falta una $x$ , la sustitución elegida no sirve.

En integrales definidas, cambian los límites

Al sustituir en una definida hay dos caminos y uno es más corto: cambiar los límites a la variable nueva y no volver nunca a $x$ .

\int_0^2 x\,e^{x^2}\,dx \;\xrightarrow{\;u = x^2\;}\; \frac{1}{2}\int_0^4 e^{u}\,du = \frac{e^4 - 1}{2}

Cuando $x$ va de $0$ a $2$ , $u$ va de $0$ a $4$ . Si en cambio volvés a $x$ al final, los límites originales siguen valiendo; lo que no se puede es mezclar: evaluar en $0$ y $2$ una expresión que quedó en $u$ da cualquier cosa.

La suma de los rectángulos ronda 26,8, que es (e⁴ − 1)/2. La sustitución no cambia el número: cambia el trabajo necesario para encontrarlo, de sumar cuarenta términos a evaluar una exponencial dos veces.f(x) = x * exp(x ^ 2)

Integral	¿Sirve sustituir?	Por qué
∫ 3x²·sen(x³) dx	Sí	La derivada de x³ está multiplicando
∫ sen(x³) dx	No	Falta el x² y no se puede inventar
∫ ln x / x dx	Sí	La derivada de ln x es 1/x, que está ahí
∫ x·ln x dx	No	Es un producto de dos cosas sin relación: va por partes

La última fila marca el límite entre las dos técnicas: si el factor no es la derivada de nada que esté adentro, la que corresponde es la integración por partes.

Cierre

Autoevaluación

¿Lo entendiste?

¿Qué regla de derivación deshace la sustitución?

Después de reemplazar queda una x suelta en la integral. ¿Qué significa?

En una integral definida, al sustituir u = x², ¿qué pasa con los límites 0 y 3?

¿Cuál de estas NO sale por sustitución?

Práctica

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