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Análisis matemático ILímites y continuidadTema 3

Límites: cómo se resuelve cada indeterminación

Cero sobre cero no significa «no se puede»: significa que falta trabajo algebraico. Cuál hacer depende de qué forma tenga la indeterminación.

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La mayoría de los límites de un parcial se resuelven reemplazando. El problema son los otros: los que al reemplazar dan 0/00/0, ∞/∞\infty/\infty o ∞−∞\infty-\infty, y dejan la hoja en blanco.

Esas formas no son errores ni respuestas: son un aviso de que la expresión todavía esconde el resultado y hay que reescribirla. Cada forma tiene su técnica, y son pocas.

Qué significa «indeterminado»

Que 0/00/0 sea indeterminado no quiere decir que el límite no exista: quiere decir que esa información no alcanza para decidirlo. Dos límites con la misma forma pueden dar cosas distintas.

lim⁡x→0xx=1,lim⁡x→0x2x=0,lim⁡x→0xx2=∞\lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{x}{x^2} = \infty

Los tres reemplazan a 0/00/0 y dan tres respuestas. Lo que decide no es la forma sino quién se acerca a cero más rápido, y para verlo hay que simplificar.

Cero sobre cero: factorizar o racionalizar

Si numerador y denominador tienden a cero, los dos se anulan en el mismo punto, y eso significa que los dos tienen el mismo factor. Sacarlo es la solución.

lim⁡x→2x2−4x−2=lim⁡x→2(x−2)(x+2)x−2=lim⁡x→2(x+2)=4\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4

La simplificación es legal porque el límite nunca evalúa en x=2x=2: ahí x−2x-2 no es cero, así que se puede dividir. Es la misma idea de fondo de qué dice realmente un límite.

Cuando hay una raíz, el factor común no se ve y aparece multiplicando por el conjugado:

lim⁡x→0x+1−1x=lim⁡x→0(x+1−1)(x+1+1)x(x+1+1)=lim⁡x→01x+1+1=12\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} = \frac{1}{2}

El producto de arriba es una diferencia de cuadrados y deja xx, que se cancela con el xx del denominador. Racionalizar no es un truco de memoria: es la única forma de que aparezca el factor que se anula.

Antes de seguir, predecí

El límite de (x³ − 8)/(x − 2) cuando x tiende a 2. ¿Qué conviene hacer primero?

Infinito sobre infinito: el término que manda

Con cocientes de polinomios en el infinito, dividir arriba y abajo por la potencia más alta del denominador deja todo a la vista, porque cada 1/xk1/x^k se va a cero.

lim⁡x→∞3x2−x5x2+7=lim⁡x→∞3−1/x5+7/x2=35\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - x}{5x^2 + 7} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - 1/x}{5 + 7/x^2} = \frac{3}{5}

De ahí sale la regla que se usa de memoria y conviene entender: si el grado de arriba es menor, el límite es 00; si es igual, es el cociente de los coeficientes principales; si es mayor, es infinito. Es el resultado de esta misma división, no una regla aparte.

Recorré la curva hacia la derecha: se aplana en 3/5. Cambiá el coeficiente del denominador y la altura final cambia con él, siempre igual al cociente de los coeficientes principales. Esa recta horizontal es la asíntota, y el límite en el infinito es su altura.f(x) = (3 * x ^ 2 - x) / (b * x ^ 2 + 7)

Infinito menos infinito y los demás

∞−∞\infty-\infty casi nunca se resuelve como está: se convierte en un cociente y vuelve a uno de los casos anteriores.

FormaQué hacerPor qué funciona
0/0 con polinomiosFactorizar y cancelarLos dos se anulan en el punto: comparten el factor
0/0 con raícesMultiplicar por el conjugadoLa diferencia de cuadrados hace aparecer el factor
∞/∞ de polinomiosDividir por la potencia mayorDeja los coeficientes principales y manda a cero el resto
∞ − ∞ con raícesConjugado otra vezConvierte la resta en un cociente
0 · ∞Pasar un factor al denominadorSe vuelve 0/0 o ∞/∞
1^∞Reconocer el número eEl límite de (1 + 1/n)^n es la definición de e
La fila del 1 elevado a infinito es la que más sorprende: parece que tendría que dar 1, y no, porque la base se acerca a 1 mientras el exponente crece, y quién gana depende de las velocidades.

Cómo elegir sin probar todo

  1. Reemplazá primero. La mayoría de los límites salen ahí, y si da un número, ya está.
  2. Mirá qué forma quedó. El nombre de la indeterminación es la instrucción: 0/00/0 pide factor común, ∞/∞\infty/\infty pide dividir, una raíz pide conjugado.
  3. Reescribí y volvé a reemplazar. Si sigue indeterminado, quedó un factor sin cancelar.
  4. Recién ahí, la regla de L’Hôpital, si el curso ya la vio: sirve para 0/00/0 y ∞/∞\infty/\infty, y para nada más sin antes reescribir.

Cierre

Autoevaluación

¿Lo entendiste?

¿Qué significa que un límite dé la forma 0/0 al reemplazar?
En el límite de (√(x+4) − 2)/x cuando x tiende a 0, ¿por qué se multiplica por el conjugado?
¿Cuánto vale el límite de (2x³ + x)/(7x³ − 5) cuando x tiende a infinito?
¿Cuándo se puede aplicar la regla de L’Hôpital?

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