Continuidad: tres condiciones, no una
Una función es continua en un punto cuando existe el límite, existe el valor y coinciden. Cada condición que falla da un tipo distinto de discontinuidad.
«Continua es cuando se puede dibujar sin levantar el lápiz» sirve como imagen y falla como definición: no dice qué mirar cuando la función viene dada por una fórmula partida, que es como viene siempre en los ejercicios.
La definición útil son tres condiciones separadas, y lo que hace que valga la pena aprenderlas por separado es que cada una que falla tiene nombre propio y se arregla —o no— de manera distinta.
Las tres condiciones
es continua en cuando:
- existe: el punto está en el dominio.
- existe: los dos laterales coinciden.
- Los dos números son el mismo.
Esa igualdad junta las tres: para escribirla hacen falta los dos lados, y además que sean iguales. Y dice algo más fuerte de lo que parece: en una función continua, calcular el límite es reemplazar. Todos esos límites que salen en un renglón salen porque la función era continua ahí, no porque reemplazar sea siempre válido.
Un tipo por condición que falla
| Qué falla | Cómo se llama | Se arregla |
|---|---|---|
| El límite existe pero f(a) no, o vale otra cosa | Evitable | Sí: se redefine f(a) como el límite |
| Los laterales existen y son distintos | De salto (esencial de primera especie) | No: ningún valor tapa el salto |
| Algún lateral es infinito | Asintótica (esencial de segunda especie) | No: la función se va |
| Algún lateral no existe ni siquiera como infinito | Esencial, por oscilación | No: no hay adónde acercarse |
La evitable es la que aparece cuando se simplifica un factor: tiene un agujero en y definiendo queda continua. La de salto es la de las funciones partidas mal empalmadas, y la asintótica es la de en el cero.
Antes de seguir, predecí
Funciones partidas: dónde se rompe el empalme
El ejercicio típico da una función con dos ramas y un parámetro, y pide el valor que la hace continua. El procedimiento es siempre el mismo y no requiere pensar de nuevo cada vez.
- Adentro de cada rama no hay nada que revisar si las fórmulas son polinomios, raíces definidas o cocientes sin ceros: son continuas donde están definidas.
- El único punto sospechoso es el empalme, donde cambia la fórmula.
- Calculá los dos laterales ahí, cada uno con su rama.
- Igualalos entre sí y al valor asignado, y despejá el parámetro. Si la igualdad es imposible, ningún parámetro sirve y la discontinuidad es de salto.
Qué te deja tener una función continua
La continuidad no se estudia para clasificar puntos raros: se estudia porque habilita tres teoremas que se usan todo el tiempo.
- Bolzano. Si es continua en y cambia de signo entre los extremos, tiene una raíz adentro. Es la garantía en la que se apoya el método de bisección para resolver ecuaciones que no se despejan.
- Valores intermedios. Toma todos los valores entre y : no puede saltearse ninguno.
- Weierstrass. En un intervalo cerrado y acotado alcanza un máximo y un mínimo. Sin esto, buscar los extremos de una función sería buscar algo que puede no existir.
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