Qué dice realmente un límite

La primera definición de límite que uno escucha suele ser «el valor al que tiende la función». Suena razonable y no alcanza para nada: no explica por qué se estudian, ni por qué la definición formal habla de dos letras griegas, ni por qué un límite puede existir en un punto donde la función ni siquiera está definida.

El límite contesta otra pregunta, mucho más concreta: si me acerco a un punto sin llegar nunca, ¿adónde va el resultado? Todo Análisis I sale de ahí.

Acercarse sin llegar

Mirá la función

En $x=1$ no vale nada: el denominador es cero y la expresión no tiene sentido. Pero si evaluás en $0{,}9$, en $0{,}99$ y en $0{,}999$, los resultados son $1{,}9$, $1{,}99$ y $1{,}999$. Desde el otro lado pasa lo mismo. La función no llega nunca a $x=1$, y aun así queda perfectamente claro adónde apunta: a $2$.

Para esta función el cociente se simplifica: cuando $x \neq 1$, vale $x+1$. El límite es lo que dice $x+1$ en $1$, o sea $2$, aunque la función original tenga un agujero justo ahí.

La curva con un agujero

Los dos lados tienen que coincidir

Acercarse por la izquierda y acercarse por la derecha son dos preguntas separadas, y cada una tiene su respuesta: los límites laterales. El límite existe sólo cuando las dos dan lo mismo.

La función $f(x)=|x|/x$ es el ejemplo corto: por la derecha vale siempre $1$ y por la izquierda siempre $-1$. Cada lateral existe, no coinciden, y por eso en $0$ no hay límite.

Para qué se inventó esto

La pregunta «adónde va cuando me acerco» no es un capricho: es la única forma de darle sentido a dos cosas que aparecen en todos lados.

• La velocidad en un instante. Una velocidad es distancia sobre tiempo, y en un instante el tiempo transcurrido es cero. La división no existe; el límite del cociente cuando el intervalo se achica, sí. De ahí sale la derivada.
• El área bajo una curva. Se aproxima con rectángulos, que nunca dan el valor exacto. El área es el límite de esas aproximaciones cuando los rectángulos se angostan, y eso es la integral definida.

En los dos casos la cuenta directa da una indeterminación —$0/0$, o una suma de infinitos términos— y el límite es lo que la convierte en un número.

Por qué la definición formal parece complicada

La definición con épsilon y delta dice: para cualquier margen de error $\varepsilon$ que me pidas, puedo darte una distancia $\delta$ tal que, si $x$ está a menos de $\delta$ del punto, $f(x)$ está a menos de $\varepsilon$ del límite.

Leída como un juego se entiende mejor: alguien exige precisión y vos tenés que conseguirla achicando el entorno. Si podés ganar siempre, el límite es $L$.

El detalle que suele pasarse por alto es el $0 < |x-a|$: excluye al punto mismo. La definición formal dice, en lenguaje de desigualdades, exactamente lo mismo que la idea intuitiva: el valor en $a$ no participa.

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